Scholar Hub/Chủ đề/#không gian banach với đồ thị/
Không gian Banach là một không gian vector với một chuẩn, nơi mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Được Stefan Banach phát triển, nó là nền tảng phân tích chức năng trong toán học, giúp định nghĩa và nghiên cứu ánh xạ tuyến tính và chuỗi vô hạn. Đặc điểm gồm không gian vector, chuẩn và tính hội tụ Cauchy. Các ví dụ như không gian Lᵖ và C[a, b]. Không gian Banach ứng dụng trong phương trình vi phân, lý thuyết điều khiển và vật lý toán học, miêu tả bằng đồ thị dãy hội tụ.
Không gian Banach: Khái niệm và Đặc điểm
Không gian Banach là một không gian vector với một chuẩn, trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Được đặt tên theo nhà toán học người Ba Lan, Stefan Banach, không gian Banach đóng một vai trò quan trọng trong phân tích chức năng, một lĩnh vực của toán học nghiên cứu về không gian vô hạn chiều và các phép toán trên đó.
Định nghĩa Không gian Banach
Khái niệm không gian Banach được định nghĩa qua các yếu tố cơ bản sau:
- Một không gian vector: Tập hợp các phần tử có thể cộng và nhân với số thực hay số phức.
- Một chuẩn: Hàm số từ không gian vector tới tập số thực không âm, thỏa mãn các điều kiện nhất định như hồi tam giác và đồng nhất.
- Tính dãy Cauchy: Mọi dãy Cauchy trong không gian phải hội tụ trong không gian đó.
Ý nghĩa của Không gian Banach
Không gian Banach là không gian cơ sở để nghiên cứu các vấn đề trong phân tích chức năng và các lĩnh vực khác như phương trình vi phân, lý thuyết điều khiển và vật lý toán học. Nó giúp định nghĩa và nghiên cứu các ánh xạ tuyến tính liên tục và các chuỗi vô hạn.
Các Ví dụ điển hình của Không gian Banach
Các không gian Banach điển hình bao gồm:
- Không gian Lp: Gồm các hàm số mà lũy thừa p của giá trị tuyệt đối là khả tích, với p ≥ 1.
- Không gian C[a, b]: Gồm các hàm liên tục được xác định trên đoạn đóng [a, b].
Đồ thị và Hình dung Không gian Banach
Để hình dung không gian Banach, chúng ta thường sử dụng các biểu đồ và đồ thị biểu diễn các dãy hội tụ và không hội tụ trong không gian. Đồ thị biểu diễn các khía cạnh như:
- Dãy Cauchy: Minh họa sự hội tụ của dãy.
- Không gian Lp: Đồ thị các hàm số trong không gian này, ví dụ, không gian L² với các hàm bình phương tích phân.
Kết luận
Không gian Banach là một trong những cấu trúc toán học quan trọng được sử dụng rộng rãi trong phân tích và các lĩnh vực khác của toán học. Việc nắm vững các khái niệm về không gian Banach giúp hiểu rõ hơn về cách các không gian vô hạn chiều hoạt động và tương tác với nhau.
Xấp xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn trong không gian Banach với đồ thịTrong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp ba bước mới để xấp xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn. Từ đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả chính trong tài liệu tham khảo [3, 5]. Đồng thời, một ví dụ được đưa ra để minh họa cho việc xấp xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn và chứng tỏ rằng sự hội tụ đến điểm bất động chung của dãy lặp được đề xuất là nhanh hơn dãy S-lặp trong bài báo [5] thông qua tính toán bằng phần mềm Scilab.
#ánh xạ G-không giãn #điểm bất động chung #không gian Banach với đồ thị
Sự hội tụ của dãy lặp hai bước đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thịTrong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp hai bước mới cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị. Tiếp theo đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của dãy lặp này đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả chính trong nghiên cứu của Wattanawweekul (2018). Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để minh họa cho sự hội tụ của dãy được giới thiệu và cũng chứng tỏ rằng dãy lặp được giới thiệu hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh hơn những dãy lặp được nghiên cứu trong bài báo của Wattanaweekul trên.
#Ánh xạ G-không giãn tiệm cận #điểm bất động chung #không gian Banach với đồ thị
SO SÁNH TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA CÁC DÃY LẶP KIỂU ISHIKAWA CỦA CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ Đã có nhiều kết quả về sự hội tụ của các dãy lặp đến điểm bất động chung của các ánh xạ co với đồ thị. Tuy nhiên, có rất ít kết quả liên quan đến việc so sánh tốc độ hội tụ của các dãy lặp này. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về tốc độ hội tụ của một số dãy lặp kiểu Ishikawa đến điểm bất động chung của các ánh xạ co trong không gian Banach với đồ thị. Cụ thể hơn, chúng tôi đề xuất một số điều kiện đủ để đảm bảo một dãy lặp hội tụ nhanh hơn một dãy lặp khác. Công việc của chúng tôi đã cải thiện được một kết quả của một nghiên cứu gần đây liên quan đến việc so sánh tốc độ hội tụ của các dãy lặp hai và ba bước. Nhìn chung, các giả thiết chúng tôi xây dựng về khoảng của các dãy tham số tốt hơn các kết quả trước đó. Một điểm thú vị là bài báo của chúng tôi mở ra một ý tưởng mới về việc xây dựng một giả thiết tối ưu để có thể so sánh được tốc độ hội tụ của các dãy lặp tổng quát.
#không gian Banach với đồ thị #Ánh xạ co #tốc độ hội tụ #Dãy lặp kiểu Ishikawa
Sự hội tụ của dãy lặp ba bước đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian banach với đồ thịTrong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp ba bước mới cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị. Tiếp theo đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả chính trong tài liệu tham khảo [1, 2]. Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để minh họa cho sự hội tụ của dãy được giới thiệu và cũng chứng tỏ rằng dãy lặp được giới thiệu hội tụ đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh hơn những dãy lặp được nghiên cứu trong bài báo [1, 2].
#ánh xạ G-không giãn tiệm cận #điểm bất động chung #không gian Banach với đồ thị
Lý thuyết Không gian Coorbit Tổng quát cho Các không gian Quasi-Banach và các Không gian Hàm Không đồng nhất với Độ mềm và Tính tích phân Biến thiên Dịch bởi AI Springer Science and Business Media LLC - Tập 23 - Trang 1348-1407 - 2016
Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất một lý thuyết không gian coorbit tổng quát phù hợp để định nghĩa các coorbit của các không gian quasi-Banach bằng cách sử dụng một khung liên tục trừu tượng, được đánh chỉ số bởi một không gian Hausdorff có compact cục bộ, và một biến đổi giọng nói tổng quát liên quan. Lý thuyết được đề xuất thực hiện một bước tiến xa hơn trong sự phát triển của một lý thuyết trừu tượng phổ quát hướng tới các không gian hàm khác nhau và phân tích nguyên tử của chúng, điều này đã được Feichtinger và Gröchenig khởi xướng vào cuối những năm 1980. Chúng tôi kết hợp các phương pháp gần đây trong Rauhut và Ullrich (J Funct Anal 260(11):3299–3362, 2011) và Rauhut (Stud Math 180(3):237–253, 2007) để xác định, đặc biệt, các không gian không đồng nhất (quasi-Banach) kiểu Besov–Lizorkin–Triebel. Để chứng minh tiềm năng của lý thuyết mới của chúng tôi, chúng tôi áp dụng nó cho các không gian có độ mềm và tính tích phân biến thiên đã thu hút được sự quan tâm đáng kể trong suốt 10 năm qua. Từ cơ chế phân tách rời rạc trừu tượng này, chúng tôi thu được các phân tích nguyên tử cũng như các đồng cấu khung wavelet cho những không gian này.
